Forord 11

Introduktion 13

1 Genoplev kampen med at forstå positionssystemet 17
   Alfabetaland 18
   Fordelene ved positionssystemer 19
   Positionssystem med vilkårligt grundtal 21
   Regnealgoritmer i andre talsystemer 24
   Opsamling på kapitel 1 28

2 Regning fra lertavle til lommeregner 29
   Tallenes antropologi 30
   Tidlige spor af tal 31
   Tal på hieroglyffernes tid 35
   Regnebræt og kugleramme 38
      Positionssystemet som grundlag for moderne regning 40
   De første danske regnebøger 45
   Hvordan lommeregneren ændrede undervisningen 46
      Lommeregnerens tre funktioner i undervisningen 48
   Kritisk brug af lommeregner 53
   Opsamling på kapitel 2 56

3 Talbegreber og regneoperationer i de første skoleår 57
   Tal og det at tælle 58
      Det indledende arbejde med tal – en tradition og kritikken af den 63
   Indledende addition og subtraktion  69
   Cognitively Guided Instruction 71
   Dansk forskning om tællestrategier 78
   Opsamling på kapitel 3 80

4 Elevers opfattelse af og regning med flercifrede tal 81
   Titalssystemet – et positionssystem 84
   Addition og subtraktion af flercifrede tal 86
      Andre materialer: den åbne tallinje og taltavlen 89
      Hen imod relativt standardiserede metoder 94
   Indledende multiplikation og division 100
      Multiplikative situationer 102
      Multiplikative situationer – division 103
      Udviklingen i børns arbejde med multiplikative situationer 106
   Division med encifrede tal 110
   Opsamling på kapitel 4 115

5 De positive rationale tal 117
   Én faglig vej gennem brøkregning 120
      Indledende brøkregning 122
      Videregående regning med brøker 125
      Decimaltal og procent 130
      Procentnotationen for decimaltal 133
   Periodelængder i brøkers omskrivning til decimaltal 134
      Decimaltals omdannelse til brøker 135
   Opsamling på kapitel 5 136

6 Brøkregningens didaktik, RME med flere 137
   Brøker i Realistisk Matematikundervisning 137
      Grundsynet på brøker i Realistisk Matematikundervisning 138
      Skitse af et toårigt undervisningsforløb med brøker 140
      Den faktiske udførelse af toårsforløbet  144
      Konklusioner på RME’s brøkprojekt 147
   Nyere forskning i heltalsdistraktorer/bias 151
      Resultater af undersøgelsen 152
   Tæller og nævner spiller vigtige roller 153
   Opsamling på kapitel 6 156

7 Negative tal og repræsentationer 157
   Repræsentationer i matematikundervisningen 159
      Repræsentationer og kognitive forhindringer 163
      På jagt efter gode repræsentationer for de hele tal 164
      Forklaring af regneregler ud fra udvalgte repræsentationer 164
      Talaksen i form af et termometer 166
   Forskning i børns repræsentationer 170
   Opsamling på kapitel 7 174

8 Talteori og beviser 175
   Direkte beviser i delelighedslæren 176
   Hvordan finder man primtal? 178 Euklids algoritme 181
   Aritmetikkens fundamentalsætning 186
      Praktiske anvendelser af primfaktoropløsning 190
      Største fælles divisor og mindste fælles multiplum 192
   De reelle tal 194
      Reelle tal som uendelige decimaltal 196
      Der er flest irrationale tal 197
   Opsamling på kapitel 8 200

9 Hvad er algebra? 201
   Et nyt syn på skolealgebra 203
   Symbolisering i Kaputs model 206
   Algebraiske strukturer i Kaputs model 208
   Regelstyret tænkning og handling 211
      Problemer med regelstyret tænkning og handling 213
   Udblik til de efterfølgende algebrakapitler 217
      Variabelbegrebets didaktik 220
      At udvikle forståelser af lighedstegn 226
      Repræsentationer og oversættelser af ligninger 230
   Opsamling på kapitel 9 233

10 Tidlig algebra 235
   Udviklingsarbejdet med tidlig algebra i USA 236
   Eksempler på forløb i tidlig algebra 237
      Bolsjeæsken 237
      Atten måneder senere: problemet med pungen 241
   Longitunale studier af tidlig algebra 243
      Tilrettelæggelse af forsøget 244
      Resultater af forsøget 244
   Hvad skal vi mene om ‘tidlig algebra’ i danske skoler? 247
      Danske erfaringer 247
      Ligninger og lighedstegnet 250
   Danske forsøg og forskning 253
      Bolsjeforsøget i en dansk skole  253
      Den nyeste danske forskning 254
   Opsamling på kapitel 10 255

11 Talmønstre og figurrækker 257
   Udvikling i femkanttallene 259
   Induktionsbeviser 266
   Elevers og studerendes arbejde med figurmønstre 268
   Hanoitårnet, fraktaler og fibonaccital 272
   Opsamling på kapitel 11 276

12 Funktioner og funktionsbegrebet 277
   Udvikling af personlig viden om funktioner 277
   Begrebsbillede og begrebsdefinition 283
   Lidt om funktionsbegrebets historie 285
   Proportionaliteter og den lineære funktion 289
      Bestemmelse af konstanterne ved de tre grundlæggende funktioner 290
   Opsamling på kapitel 12 294

13 Ligninger og problemløsning 295
   Problemløsning 296
      Diskussion af problemløsningsstrategier 297
   Den ukendte som pladsholder og som variabel 302
   Variablen i formler og funktioner 307
   Løsning af ligningssystemer 311
      Førstegradsligninger med flere ubekendte 312
   To ligninger med to ubekendte 316
      Læringspotentiale i et CAS-værktøj 320
   Opsamling på kapitel 12 322

14 Rentesregning og økonomi 323
   Termin og rentetilskrivning 326
      Simpel rentesregning 328
      Nominel og effektiv rente  332
   Annuiteter – opsparing 333
      Formel for opsparingsannuitet 335
   Annuiteter – gæld 337
      Formel for gældsannuitet 339
   Opsamling på kapitel 14 344

15 Modellering og vækstfunktioner 345
   Matematisk modellering 346
   Eksponentielle funktioner 351
      Bestemmelse af forskriften for en eksponentiel funktion 355
      Ligninger med eksponentialfunktioner 358
   Potensfunktioner 360
      Bestemmelse af en potensfunktion ud fra to punkter 362
   Logistisk vækst 363
      Logistisk vækst som model for antal organismer i lukkede miljøer 365
   Opsamling på kapitel 15 368

Referencer 369

Stikordsregister 374